Надо ли увольнять работника в связи с окончанием срочного договора (с записью в трудовой книжке) и принимать по новому срочному договору, или достаточно приказа о новом срочном договоре?

Статья 39-1.КЗоТ Продление действия срочного трудового договора на неопределенный срок.
Если по истечении срока трудового договора (пункты 2 и 3 статьи 23КзоТ) трудовые отношения фактически продолжаются и ни одна из сторон не требует их прекращения, действие этого договора считается продленным на неопределенный срок.

Трудовые договоры, которые были перезаключены один или несколько раз, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 23, считаются заключенными на неопределенный срок.